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教师资格备考：求数列通项公式的几种方法

数列知识是高中数学的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一。小编整理了几种求数列通项公式的方法，供大家准备高中数学教师资格学科考试时参考。

一、累差法

递推式为：a_n+1=a_n+f(n)(f(n)可求和)

思路：:令n=1,2,…,n-1可得

       a₂-a₁=f(1)

a₃-a₂=f(2)

a₄-a₃=f(3)

……

a_n-a_n-1=f(n-1)

将这个式子累加起来可得

a_n-a₁=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴a_n=a₁+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)

当然我们还要验证当n=1时,a₁是否满足上式

例1、已知数列{a}中,a₁₌₁,a_n+1=a_n+2,求a_n

解： 令n=1,2,…,n-1可得

 a₂-a₁=2

a₃-a₂=2²

a₄-a₃=2³

……

a_n-a_n-1=2^n-1

将这个式子累加起来可得

a_n-a₁=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴a_n=a₁+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

     当n=1时,a₁适合上式

     故a_n=2ⁿ-1

二、累商法

递推式为：a_n+1=f(n)a_n（f(n)要可求积）

思路：令n=1,2, …,n-1可得

        a₂/a₁=f(1)

        a₃/a₂=f(2)

        a₄/a₃=f(3)

……

a_n/a_n-1=f(n-1)

　将这个式子相乘可得a_n/a₁=f(1)f(2) …f(n-1)

  ∵f(n)可求积

  ∴a_n=a₁f(1)f(2) …f(n-1)

　当然我们还要验证当n=1时，a₁是否适合上式

例2、在数列{a_n}中,a₁=2,a_n+1=(n+1)a_n/n,求a_n

解： 令n=1,2, …,n-1可得

　　 a₂/a₁=f(1)

     a₃/a₂=f(2)

     a₄/a₃=f(3)

……

a_n/a_n-1=f(n-1)

将这个式子相乘后可得a_n/a₁=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)

即a_n=2n

当n=1时，a_n也适合上式

∴a_n=2n

三,构造法

1、递推关系式为a_n+1=pa_n+q (p,q为常数)

思路：设递推式可化为a_n+1+x=p(a_n+x),得a_n+1=pa_n+(p-1)x,解得x=q/(p-1)

故可将递推式化为a_n+1+x=p(a_n+x)

构造数列{b_n},b_n=a_n+q/(p-1)

b_n+1=pb_n即b_n+1/b_n=p,{b_n}为等比数列.

故可求出b_n=f(n)再将b_n=a_n+q/(p-1)代入即可得a_n

例3、数列{a_n}中,对于n>1(n€N)有a_n=2a_n-1+3,求a_n

解：  设递推式可化为a_n+x=2(a_n-1+x),得a_n=2a_n-1+x,解得x=3

      故可将递推式化为a_n+3=2(a_n-1+3)

      构造数列{b_n},b_n=a_n+3

      b_n=2b_n-1即b_n/b_n-1=2,{b_n}为等比数列且公比为3

      b_n=b_n-1·3,b_n=a_n+3

      b_n=4×3^n-1

      a_n+3=4×3^n-1,a_n=4×3^n-1-1

2、递推式为a_n+1=pa_n+qⁿ(p,q为常数)

思路：在a_n+1=pa_n+qⁿ两边同时除以qⁿ⁺¹得

    　   a_n+1/qⁿ⁺¹=p/qa_n/q_n+i/q

构造数列{b_n},b_n=a_n/qⁿ可得b_n+1=p/qb_n+1/q

故可利用上类型的解法得到b_n=f(n)

再将代入上式即可得a_n

例4、数列{a_n}中,a₁+5/6,a_n+1=(1/3)a_n+(1/2)ⁿ,求a_n

解： 在a_n+1=(1/3)a_n+(1/2)ⁿ两边同时除以(1/2)ⁿ⁺¹得

    　2ⁿ⁺¹a_n+1=(2/3)×2ⁿa_n+1

构造数列{b_n},b_n=2ⁿa_n可得b_n+1=(2/3)b_n+1

故可利用上类型解法解得b_n=3-2×(2/3)ⁿ

2ⁿa_n=3-2×(2/3)ⁿ

a_n=3×(1/2)ⁿ-2×(1/3)ⁿ

3、递推式为：a_n+2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数）

　思路：设a_n+2=pa_n+1+qa_n变形为a_n+2-xa_n+1=y(a_n+1-xa_n)

　　　　也就是a_n+2=(x+y)a_n+1-(xy)a_n，则可得到x+y=p,xy= -q

　　　　解得x,y，于是｛b_n｝就是公比为y的等比数列（其中b_n=a_n+1-xa_n）

　　　　这样就转化为前面讲过的类型了．

例5、已知数列{a_n}中,a₁=1,a₂=2,a_n+2=(2/3)·a_n+1+(1/3)·a_n,求a_n

解：设a_n+2=(2/3)a_n+1+(1/3)a_n可以变形为a_n+2-xa_n+1=y(a_n+1-xa_n)

也就是a_n+2=(x+y)a_n+1-(xy)a_n，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3

可取x=1,y= -1/3

构造数列｛b_n｝，b_n=a_n+1-a_n

故数列｛b_n｝是公比为-1/3的等比数列

即b_n=b₁(-1/3)^n-1

   b₁=a₂-a₁=2-1=1

   b_n=(-1/3)^n-1

   a_n+1-a_n=(-1/3)^n-1

故我们可以利用上一类型的解法求得a_n=1+3/4×[1-(-1/3)^n-1](n€N^*)

四、利用s_n和n、a_n的关系求a_n

1、利用s_n和n的关系求a_n

   思路：当n=1  时，a_n=s_n

　　　　当n≥2 时, a_n=s_n-s_n-1

例6、已知数列前项和s=n²+1,求{a_n}的通项公式.

解：当n=1  时，a_n=s_n＝2

当n≥2 时, a_n=s_n-s_n-1＝n+1-[(n-1)²+1]=2n-1

而n=1时，a₁=2不适合上式

∴当n=1  时，a_n=2

　　　当n≥2 时, a_n=2n-1

2、利用s_n和a_n的关系求a_n

   思路：利用a_n=s_n-s_n-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解

例７、在数列｛a_n｝中，已知s_n=3+2a_n，求a_n

解：即a_n=s_n-s_n-1=3+2a_n-(3+2a_n-1)

      a_n=2a_n-1

∴｛a_n｝是以２为公比的等比数列

∴a_n=a₁·2^n-1= -3×2^n-1

五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.

    思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出a_n，再用数学归纳法证明

例8、已知数列{a_n}中,a_n+1=a²_n-na_n+1,a₁=2,求a_n

解：由已知可得a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5,a₅=6

由此猜想a_n=n+1，下用数学归纳法证明：

当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边

　即当n=1时命题成立

假设当n=k时，命题成立，即a_k=k+1

　则 a_k+1=a²_k-ka_k+1

      =(k+1)²-k(k+1)+1

      =k²+2k+1-k²-2k+1

      =k+2

      =(k+1)+1

∴当n=k+1时，命题也成立．

综合(1),(2),对于任意正整数有a_n=n+1成立

即a_n=n+1